Верно: Верх-Нейвинский.

В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.

В словаре Е. А. Левашова «Географические названия» (СПб., 2000) зафиксировано прилагательное гусевский от названия города Гусь-Хрустальный. Но в официальном названии завода употребляется прилагательное гусевской. Почему выбрано название, противоречащее рекомендациям словарей, сказать сложно. Возможно, это профессионализм.

Прилагательное от Ростов-на-Дону – ростовский, от Комсомольск-на-Амуре – комсомольский и (в официальных названиях учреждений, организаций) комсомольский-на-Амуре, например: Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.

Правильно: открытому акционерному обществу «Племенной завод "Такой-то"».

Корректно: Посетили экскурсии в парке «Патриот», на заводе...

А в чём сложность, что именно вызывает у Вас затруднения?

Название, заключаемое в кавычки и не сочетающееся синтаксически с родовым словом, не склоняется. Правильно: генеральному директору ОАО «Верхнебаканский завод». Вот если бы родового слова не было, название склонялось бы: генеральному директору Верхнебаканского завода.